吉林大学自考本科 工程数学（一） 07961

发布日期:2014-06-21 点击次数:3215

1.α=（1,2,3），β=（1，-1,2），A=αTβ，求A5
α-（1,2,3），β=（1，-1,2），A=αTβ=  1  （1，-1,3） =  1  -1  3
                                    2                 2  -2  6
                                    3                 3  -3  9
βσT =（1，-1,2） 1    =5
                  2
                  3
2.设矩阵A=  3   0  0  ，B=  1  0    求A-2E，AB.
             1  4  0         0  1
             0  0  3         1  1
A= 3  0  0  B=  1  0   A-2E=  3  0  0  -2  1  0  0     =     
   1  4  0       0  1          1  4  0      0  1  0
   0  0  3       1  1          0  0  3      0  0  1
1  0  0   AB= 3  0  0     1  0    =  3  0
1  2  0       1  4  0      0  1       1  4
0  0  1       0  0  3      1  1       3  3
3.求向量组α1=（1，-1,0），α2=（2,4,1），α3=（1,5,1），α4=（0,0,1）的秩。
α1=（1，-1,0），α2=（2,4,1），α3=（1,5,1），α4=（0,0,1）
1  -1  0  →  1  -1  0   →   1  -1  0   →   1  -1  0
2  4   1      0  6  1         0   6  1       0   6  1
1  5   1      0  6  1         0   0  0       0   0  1
0  0   1      0  0  1         0   0  1       0   0  0   向量组的秩为3
4.试判定二次型f（x1，x2，x3）=x12+2x22+x32+2x1x3+4x2x3的正定性。
f（x1，x2，x3）=x12+2x22+x32+2x1x3+4x2x3的矩阵为A=   1  0  1    顺序主子式依次为1>0，              
   1  0   =   2>0，  1  0  1    = -4<0  f（x1，x2，x3）=x12+2x22+x32+2x1x3+4x2x3是不定的
5.计算阶行列式 a+b  b   b   b    =   a+b  b  b  b    =  a  b  b  b    =a4
               b   a-b  –b  –b        a   a   0  0      0   a  0  0
               b    b  a+b  b        -a   0   a  0      0   0  a  0
               -b   -b  -b  a-b        a   0   0  a      0   0  0   a
6.f (x1,x2,x3)=4x12+3x22+3x32-2x2x3为标准形。
f (x1,x2,x3)=4x12+3x22+3x32-2x2x3=4x12+3(x22-2/3x2x3+1/9x32)+3x32-1/3x32
        =4x12+3(x2-1/3x3)2+8/3x32     令x1=y1,x2-1/3x3=y2,x3=y3   
标准形 f = 4y12+3y22+8/3y32
7.已知线性方程组  -2x1+x2+x3=-2  当λ取何值时方程组有无穷解？
                   X1-2x2+x3=λ
                   X1+x2-2x3=λ2
-2x1+x2+x3=-2 的系数矩阵为A ，增广阵为B= -2  1  1  -2
 X1-2x2+x3=λ                              1 -2  1   λ
 X1+x2-2x3=λ2                             1   1 -2   λ2
-2  1  1  -2   →   1  1  -2  λ2    →   1  1  -2   λ2       →  1  1  -2  λ2          
 1  -2  1  λ       1  -2  1  λ         0  -3  3  λ-λ2        0  -3  3 λ-λ2
 1  1  -2  λ2         -2  1  1  -2       0  3  -3  -2(1-λ2)     0  0  0  λ2+λ-2
当λ2+λ-2=0 即λ=-2或λ=1时，方程组有无穷解。
8.设三阶矩阵A、B满足A-1BA=6A+BA且A=  1/3  0    0   求B。
                                       0   1/4   0
                                       0    0   1/7
由A-1BA=6A+BA得A-1B=6E+B,所以(A-1-E)B=6E从而B=6(A-1-E)-1,A-1=  3  0  0
0  4  0
0  0  7
所以A-1-E= 2       故B=6(A-1-E)-1=6  2  0  0  -1=  3  0   0
             3                      0  3  0      0   2  0
 6                    0  0  6      0   0  1
9.求A= 1  1  -1  的矩阵。            A*=   1  -11  3    A-1=   1  -11  3
        0  2  1     =    2  1   = 1        -4   4  -1         -4   4  -1
        0  7  4          7  4              0   -7   2          0   -7  2
A11=1，A12=-4，A13=0，A21=-11，A22=4，A23=-7，A31=3，A32=1，A33=2
10.计算行列式 4  3  2  1    -3γ1+γ2   1  1   1   1  
              3  2  1  4       =       0  -1  -2   1
              2  1  4  3    -2γ1+γ2   0  -1   2   1      =    
              1  4  3  2    -γ1+γ4    0   3   2   1   γ3+γ4
10  1   1  1  1
    0  -1 -2  1   = -160
    0   0  4  0
    0   0  0  4

11.设矩阵A= 2  1  .B=  1  3   ，求矩阵方程XA=B的解X.
             5  3       2  0
｜A｜= 2  1  =1≠0，A可逆且A-1=  3  -1
       5  3                      -5   2
XA=B得X=BA-1=  1  3    3  -1  =  -12  5
               2  0   -5   2      0   -2
12.求下面齐次线性方程组的基础解系： 2X1-3X2-2X3+X4=0   A=  2  -3  -2  1
                                    3X1+6X2+4X3-2X4=0      3   5   4  -2
                                    8X1+7X2+6X3-3X4=0      8   7   6  -3
→ 1   8   6  -3  → 1  0   2/19  -1/19
   0  19  14  -7     0  1  14/19  -7/19
   0   0   0   0     0  0    0     0
13.求矩阵C=A［（A-1）2+A*BA-1］A,其中A=  1  1  0   B=  1  2  3   A*为A的
                                          0  1  1        4  5  6
                                          1  1  1        7  8  9
伴随矩阵，计算｜C｜。
｜A｜=  1  1  0   =1 C= A［（A-1）2+A*BA-1］A=A(A-1)2A+AA*BA-1A=E+｜A｜B=E+B
0  1  1
01  1
C=E+B=  1  2  3  +  1  0  0   =   2  2  3
         4  5  6      0  0  0       4  6  6
         7  8  9      0  0  1       7  8  10
14.求矩阵  3   1   0   2  的秩。-γ2+γ3     1  -1   2  -1    3  1   0  2
           3  -1   2  -1           →     0   4   -6  5    1  -1  2  -1
           1   3  -4   4                  0   0   0  0    1   3  -4  4
γ1     γ2    1  -1  2  -1   -3γ1+γ2   1  -4   2  -1
→       3  1  0   2      →      0   4  -6   5
         1  3  -4  4              0   4  -6  5
15.计算行列式  1  1   1   1   =   1  1   1   1
               1  2   3   4       1  2   3   4
               1  4   9  16       1  22   32  42
                       1  8  27  64       1  23   33  43
=（2-1）（3-1）（41-）（3-2）（4-2）（4-3）=12
16.设α1= 1   ，α2=  1   ，α3=  1   α4=  2   ；问α4可否有α1，α2，α3，
         -1          2           0        -3
         1           0           3        7
线性表示。
α1=  1   ，α2=  1   ，α3=  1  线性无关，所以是R3的集α4=   2    可以由
     -1           2           0                                 -3
      1           0           3                                  7

α1=  1   ，α2=  1   ，α3=  1  线性表示。
     -1           2           0                                 
      1           0           3                                  
17.设矩阵A=  1  0  -2    求A的特征值和特征向量。
              0  0  0
             -2  0   4
解：｜λ E-A｜=  λ-1  0   2    =λ2(λ-5)  A的特征值为0,0,5
0  λ   0
0   0  λ-4
λ=0解方程组（λ E-A）X=0 得特征向量为k1  0  +k2  2  （k1，k2全不为0）
1      0
                                           0      1
λ=5解方程组（5E-A）X=0 得特征向量为k3  1 （k3不为0）
                                         0
                                        -2

1.若  2  1  0   =0，则k=（1）
    1  3  1
     k  2  1  
2.设A 为3阶方阵，且满足Aπ+2A=E,则R（A）=(3)
3.3阶方阵A=(αij)的特征值为-2,2,5，则｜A｜=(-20)
4.已知A2-2A-4E=0，则（A+E）-1=(A-3E)
5.若A为3阶矩阵，｜A｜=2，则｜-2A｜=（-16）
6.设A=  1  2  ，则A的伴随矩阵A*=  4  -2
         3  4                        -3  -1
7.设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，矩阵A-1的一个特征值是（1/2）
8.单个向量λ线性相关的充要条件是（α=0）
9.设A为mxn矩阵，则AI=A中的I是（n）阶单位矩阵。
10.矩阵A =  1  2   3  对应的二次型f= （x12+4x1x2-2x2x3+6x1x3+3x22）
            2  2  -1
            3  -1  3
11.设向量组β1=（1，1,1）β2=（1,2,1）β3=（1,3，E）的秩为2，则t=（1）
12.设A为3阶方阵，且满足A2+A=E, 则R=（A+E）=(3)
13.3阶方阵A=(αij)的特征值为1,3,5，则｜A｜=(15)
14.设A =(1,3，-1),B=(2,1,2),则ABT=(3)
15.已知向量α=（3,5,7,9），β=（-1,5,2,0），如果α+ ξ =β；则ξ =（-4,0，-5，-9）
16.A是3阶矩阵，且｜A｜==5，则｜-A2｜=（-25）
17.已知向量α=（1，-2,3,4）与β=（3，a，5，-7）正交，则数a=（5）
18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则｜-3E+A｜=(0)
19.设三阶方阵A有特征值4,5,6，则AT的特征值为（x12+4x1x2+2x22-2x2x3+3x32）
20.已知A2-3A-8E=0，则（A-3E）-1=（1/8A）
21.已知向量组α1=  （1，α，-2），α2=（3,6，-6）线性相关，则α=2
22.若行列式中各所元素之和均为0，则该行列的值为（0）
23.向量α=（3,2，t，1），β=（t，-1,2,1）正交，则t=（1/5）
24.设矩阵A=   1   2    ，则行列式｜ATA｜=(4)
25.当k（≠0）时，矩阵A =  -1  0  0        可逆
                           0  k  0
                           1  -1  4
26.设三阶方阵有特征值4、5、6则A-1特征为（1/4,1/5,1/6)
            1 0 1
27.设短阵A= 0 2 0  短阵B=A-E则矩阵B的秩R(B)=( 2 )
             0 0 1
              1 1 1  
28.已知D= 2 2 2  则A11-A12+A13=（ 0 ）
           3 3 3 
29.已知向量组α1=（1，α，-2），α2=（3,6，-6）线性相关，则d=( 3 )
            2 5 8
30.已知A=  0 b 6   是奇异阵，则b=( 0 )
            0 0 4
             2 0 0                      2 0 0
31.已知  A=  0 2 0    满足AB=A+B,则B=  0 2 0
             0 0 2                      0 0 2
32.设向量α=（3,5,7,9）β=（-1,5,2,0）向量γ满足3α-2γ=5β，则向量γ=（ （7，-5,11/2,27/2） ）
33.二次型f(X1,X2,X3）=X12+2X22-3X32+4X1X2-2X1X3对应的对称矩阵是 1   2  -1
（ 2   2   0  ）
                                                          -1  0  -3
               0 0 1
34.已知矩阵A= 2 3 0  ,则R(A)=(  3  )
               4 5 0
35.设二次型f（x1，x2）=2x12+2x22+4kx1x2为正定二次型，则k取值范围为（k<1）
36.设3阶矩阵A=  1  0  0   则A*A=(6E)
                  2  2  0
                  3  3  3
37.两个向量α= (α,1，-1)和β=（b,-2,2）线性相关的充要条件是(b=-2a)
38.格列元素之和为0的n阶行列式的值等于(0)
39.二次型f (x1，x2，x3) =2x12+3x22+5x32+2x1x2-2x1x3+8x2x3的矩阵是  1  1  -1
                                                             1  3  4
                                                            -1  4  5

一、单选
            x  y  2                    2x  2y  2z      
 1.设行列式 4  0  3   =1  ， 则行列式  2   0  3/2   =1   
           1  1  1                     1   1   1  
                             1  0  0
 2.下列矩阵中不是初等矩阵的为 1  1  0
                             1  0  1   
         1  0  1
3.行列式 -1  1  2  第二行第一列元素的代数系子式A21=-1
         0  -1  3
4.设向量组α1，α2，α3，α4，线性相关则向量组中：必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
5.设A 为5阶方阵，若秩R（A）= 3 则齐次线性方程组A x = 0 的基础解系中包含的解向量的个数是（2）
6.设向量α=（4,3,12），则下列向量是单位向量的是（1/13d）
7.设矩阵A=  1  a  是正定矩阵，则a 满足（A>2）
             3  6
8.若矩阵A可逆,则下列等式成立的是 ( (A2)-1=(A-1)2 )
                       1   0  0
9.已知矩阵A 与对角矩阵 0  -1  0  相似, 则A2=(E)
                       0   0  -1
10.设A,B 是n 阶方阵, 下列等是正确的是 (A+B)T=AT+BT  
11.设A是3阶方阵,且｜A｜= -2 则｜A-1｜等于(-1/2)
12.设有m维向量组（I）：α1，α2，…，αn ，则（当m<n时,(I)一定线性相关）
              1  -1  1
13. 设矩阵A = 1   3  -1  的三个特征值分别为λ1 ,λ2,λ3 则λ1 +λ2+λ3= （6）
              1  1   2
                      0  -1  1
14.3阶行列式｜αij｜=  1   0  -1  中元素α21的代数余子式A21=（1）
                     -1   1  0
              0  0  1
15.设矩阵A =  0  1  0  则二次型XTAx的规范形为(z12+z22-z32)
              1  0  0
16.若四阶方阵的秩为3则（齐次方程组Ax=0有非零解）
17.如果将n 阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（若n为奇数，行列式变号；若n为偶数，行列数不变）
18.设A 是上（下）三角矩阵，那么A可逆的充分必要条件是A的主对角线元素为（全不为零）
                          -1
19.若方阵A 与对角矩阵D=     1      相似，则A6=(E)
                                -1  
20.若方程AX=b中，方程的个数小于未知量的个数，则有（AX=0必有非零解）
21.设A为n阶方阵，且（A）=0，则（A中必有一行（列）向量使其余各行（列）向量的线性组合）
22.设有向量组：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3，线性无关，则（α1，α3线性无关）
23.设A是n阶方阵，且A2=E，则必有A=（A-1）
24.正交矩阵的行列式为（1或-1）
25.若向量组（I）：α1，α2，…αs可由向量组（II）：β1，β2，β3，…βt线性表示，则（s，t的大小关系不能确定）
26.n阶矩阵A与B等价，E为单位矩阵，则（A与B有相同的秩）
27.若A,B为同阶方阵，且满足AB=0 则有（｜A｜=0或｜B｜=0）
28.设A为n阶方阵，且A3=2E,又B=A2+A+E则R(B)=(3)
29.设β1，β2是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解X1，X2是其对应的齐次线性方程组AX=0的基础解系，k1k2为任意常数，则先行方程组Ax=b 的同解为（C）→ k1α1+k2（α1-α2）+（β1+β2）/2
30.当b=（D）时，（2，1，0，3）与（1，-1,1，b）的内积为3。→ D. 2/3
31.齐线性方程组  x1+x2+x3=0 . 的基础解系所含解向量的个数为（B）→ 2.
                2x2-x3-x4=0
32.设n阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有几个（A）→线性无关的特征向量
33.已知n元先行方程组Ax=b，其增大矩阵为A，当（C）时线性方程组有解。
C、γ（A）=γ（A）
34.若向量组α1，α2，α3，线性无关，则向量组α1，α1+α2，α1+α2+α3为（B）→线性无关
                              1  0  0
35.设若实对称矩阵A与矩阵B=  0  2  0  相似，则二次型f（x1，x2，x3）=XTAX是（B）
                              0  0  3
→正定的
36.4元二次型f（x1，x2，x3，x4）= x12+2x1x2+2x1x3+2x1x4的秩为（C）。C.2
37.设n维行向量α=（1/2,0，…，0,1/2）.矩阵A=E-αTα,B=E+αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB等于（D）。→E+αTα
38.矩阵A=  3  1     的特征值是（C）  C. λ1=-2，λ2=4
           5  -1
            2   0   0          2   0    0
39.已知矩阵 0   0   1  与矩阵  0   y    0   相似， 则（D）。D、x=0，y=1
            0   1   x          0   0   -1
           1   0   1
40.行列式  -1   1   2   第二行第一列元素的代数余子式A21=（B），B、-1
           0   -1  3
             1   -1   2   1   0
41.设矩阵A=  2   0   6   0   1  ，则γ（A）。A.2
             -1   5   2   5   2
42.设A为n阶矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是（B）。B、A-AT
43.设行列式 a1   b1  = 1，a1   c1  = -2，则  a1  b1+c1  =(A)  A.-3
            a2  b2      a2  b2            a1  b2+c2 
44.二次型f（x1.x2.x3）= x12-x22-2x32-6x1x3+2x2x3的矩阵为（A）→  1  0  -3
                                                           0  -1  1
                                                           -3  1  -2
45.设矩阵A=  k  0  0  正定，则（C）→k>1.
             0  k  -2
             0  -2  4
46.值不为零的n阶行列式,经过若干次矩阵的初等变换,则行列式的值(B) B.保持不为零

1．设A为n阶方阵，证明A+AT为对称矩阵，A-AT为反对称矩阵
证明：（A+AT）T=AT+A=A+AT,故A+AT为对称矩阵
   （A- AT）T=AT-A=-(A-AT),故A-AT为反对称矩阵
2.设向量β可由线性无关向量组α1，α2，α3，线性表示出，证明其表示式唯一。
证明：设向量是β可由线性无关向量组α1，α2，α3，线性表示，即存在k1，k2，k3使β=k1α1+k2α2+k3α3    若另存在l1，l2，l3，使β=l1α1+l2α2+l3α3由（1）-（2）得（k1-l1）α1+（k2-l2）α2+（k3-l3）α3=0向量组α1，α2，α3，线性无关，故k1-l1=0，k2-l2=0，k3-l3=0即k1=l1，k2=l2，k3=l3 所以表示式唯一。
3.已知方阵A满足A2+2A-3E=0，证明A-4E可逆，并求其逆矩阵。
由A2+2A-3E=0得（A-4E）(A+6E)+24E-3E=0即（A-4E）（A+6E）=-21E两边取行列式得｜A-4E｜｜A+6E｜=｜-21E≠0｜,故｜A-4E｜≠0，从而A-4E可逆，且（A-4E）-1=-1/21(A+6E)
4.设α1，α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性相关
 k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α1)=0即(k1+k4) α1+(k1+k2) α2+(k2+k3) α3+(k3+k4) α4=0由线性无关，得  k1+k4=0  可以得一组解，k1=-1，k2=1，k3=-1，k4=1
                              k1+k2=0
                              k2+k3=0
                              k3+k4=0
故α1，α2，α3，α4，α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性相关
5.若A,B都是n阶非零矩阵，且AB=0，证明A和B都是不可逆的。
假设A可逆，即A-1存在，以A-1左乘AB=0的两边得B=0这与B是n阶非零矩阵矛盾：类似的，若B可逆，即AB-1存在，以B-1右乘AB=0的两边得A=0，这与A是n阶非零矩阵矛盾，因此A和B都是不可逆的。
6.设λ1，λ2是n阶方阵A的两个特征值，λ1≠λ2，P1，P2是对应的特征向量，证明P1+P2不是A的特征向量。
证明：假设P1+P2对应于λ的特征向量，则A(P1+P2)= λ(P1+P2)因为AP1=λ1P1，AP2=λ2P2所以（λ1-λ）P1+(λ2-λ)P2=0由于P1，P2是对应于不同特征值的特征向量，所以他们线性无关，从而λ1-λ=λ2-λ=0，λ1=λ2矛盾
7.设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明A*的秩γ（A*）=n
证明：因为A为n阶可逆矩阵，所以｜A｜≠0，又因为A*A=｜A｜E,所以｜A*｜｜A｜=｜A｜n，因而｜A*｜≠0所以A*为n阶可逆矩阵，故γ（A*）=n

1.设A为三阶矩阵，三维列向量组α1 ，α2  ，α3线性无关，且Aα1+2α2+α3, 
Aα2=α1 +α2 , Aα3=α2+2α3 。
（1）求B，使得A（α1 ，α2  ，α3）=（α1 ，α2  ，α3）B。（2）求B。
解：(1)（Aα1,Aα2,Aα3）=A（α1 ，α2  ，α3）=（α1 ，α2  ，α3）  1  1  0
2  1  1
                                                                    1  0  2
=  （α1 ，α2  ，α3）B  ∴B= 1  1  0
2  1  1
                               1  0  2
（2）由（1）知｜A（α1 ，α2  ，α3）｜=｜（α1 ，α2  ，α3）B｜  
｜A｜｜（α1 ，α2  ，α3）｜=｜（α1 ，α2  ，α3）｜｜B｜
∵α1 ，α2  ，α3线性无关∴｜（α1 ，α2  ，α3）｜≠0
∴｜A｜｜B｜=  1  1  0   =   -1  0  -1   = -1
                2  1  1        2  1   1     
                1  0  2        1  0   2
2.对于线性方程组2x1+Λx2-x3=1  讨论λ取何值时，方程组无解？              x1-x2+x3=2
                      4x1+5x2-5x3=-1
有唯一解和有无穷解？并在方程组有无穷多解时，求其通解。
解：D= 2  λ  -1   =（4+5λ）（λ-1）当D≠0，即λ≠1，且λ≠4/5时，
       λ -1   1
       4   5  -5
方程组有唯一解。
当λ=-4/5时，B=(A,B)=  2  -4/5  -1  1    γ   10  -4  -5   5
                       -4/5  -1   1   2   ――  -4  -5   5  10
                        4    5   -5  -1         0   0   0   1
此时R（A）=2，R(B)=3，方程组无解。

当λ=1时，B=（A,B）=  2    1  -1   1   →  1  0   0   1
                       1   -1   1   2       0  1  -1   -1
                       4    5  -5  -1       0   0   0   0
此时R(A)=R(B)=2,方程组有无限个解，并且通解为  x1      1      0
                                               x2  =  -1  +C  1   
                                               x3      0      1
(C∈R)

                 1       2     3       -9
3.已知向量组α1=  -1  α2= 1  α3= 1  β=  -8   
                 0      3      2       -13
（1）α1、α2、α3是R3的一个基？
（2）将β用这个基线性表示？
                      1  2  3
解：（1）|α1，α2，α3|= -1 1  1  =-6 ≠0
                      0  3  2
α1，α2，α3线性无关，故α1，α2，α3是R3的基
(2)β=K1α1+K2α2+K3α3
即 -9           1       2       3      K1+2K2+3K3
   -8   =  K1  -1  +K2  1  +K3  1  =  -K1+K2+K3
   -13          0       3       2      3K2+2K3
得  K1+2K2+3K3=-9
      -K1+K2+K3=-8   得k1=-3,k2=-3,k3=-2 即β=-3α1-3α2-2α3
3K2+2K3=-13
4.λ取何值时，非齐次线性方程组X1+λX2-X3=2
                              2X1-X2+λX3=5
                              X1+10X2-6X3=1  
(1)有唯一解（2）无解（3）有无穷解，并求其通解
解：（1）当D≠0，即≠5且λ≠3时，方程组有唯一解
   （2）当λ=-5时，B=（A，β）=  1  -5  -1  2  γ  1  -5  -1  2
                                  2  -1  15  5  →  0  9   -3  1
                                  1  10  -6  1      0  0   0   1
         此时R(A)=2,R(B)=3，无解
    （3）当λ=3时，B=（A，β）=  1  3  -1  2   γ    1  0   8/7  17/7
                                 2  -1  3  5    →    0  1  -5/7   -1/7
                             1  10  -6  1         0  0    0     0
     此时  R(A)R(B)= 2，方程组有无限个解，通解为  x1      17/7     -8/7
                                                  x2  =  -1/7  +C  5/7
                                                  x3       0        1
（C∈R）
5.设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=λ3=2，λ=1，对应的特征向量为ξ1=  1
                                                                            1
                                                                            1
（1）求λ2=λ3=2对应的特征向量。（2）求矩阵A。
解：（1）设对应于2的一个特定向量为P=  C1    ，则P与ξ1正交，即C1+C2+C3=0
                                       C2
                                       C3
    其基础解系为ξ2=  -1  ξ3 =  1 这是对应于2的两个线性无关的特征向量
                      1         1
                      0         -2
（2）令P1=1/‖ξ1‖ξ1=  1/      P2=1/‖ξ2‖ξ2=   -1/       
                         1/                        1/
                         1/                         0
  P3=1/‖ξ3‖ξ3=   1/
                    1/
                   -2/
令P=（P1，P2，P3）,则P=（P1，P2，P3），则P-1AP=  1   0   0
                                                 0   2   0
                                                 0   0   2
∴A=P  1   0   0  P-1=   2/3   -1/3   -1/3
        0   2   0        -1/3    5/3   -1/3 
        0   0   2        -1/3    -1/3   5/3
6.已知矩阵A=  1   2   0   （1）将A对角化。（2）求A10.
               2   1   0
               0   0   2  
解：｜λ E-A｜=   1-λ   2   0   =   -（2-λ）（3-λ）（1+λ），λ1=2，λ2=3，λ3=-1
当λ1=2，有（A-2E）X=0得，A的对应于2的特征向量ξ1=  0
                                                     0
                                                     0
当λ2=3，有（A-3E）X=0得，A的对应于3的特征向量ξ2= 1
                                                    1
                                                    0
当λ3=-1，有（A+E）X=0得，A的对应于-1的特征向量ξ3= 1
                                                    -1
                                                     0
取n1 =  0   n2=1/    1  ，n3=1/    1
        0           1            -1   
       0            0             0
令P=（n1，n2， n3），则P-1AP=PTAP=  2
                                   3
                                     -1
∴A10=P 2       10 PT=  1/2(310+1)    1/2(310-1)      0
         3           1/2(310-1)    1/2(310+1)      0 
           -1            0            0          210  

上一条：自考本科 公路施工组织与概预算 06084
下一条：吉大自考本科 道路勘测设计 02405