道路桥梁工程数学（—）填空题

道路桥梁工程数学（—）填空题

作者：吉林大学自考网

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填空
1. 若   =0，则K=（-1）
2. 设A为3阶方阵，且满足A2+2A=E，则R（A）=（3），
3. 3阶方阵A=（aij）的特征值为-2, 2, 5，则│A│=（-2）
4. 已知A2-2A-4E=0，则（A+E）-1=A.3E，
5. 若A为3阶矩阵，│A│=2，则│-2A│=（-16）
6. 设A=   则A的伴随矩阵A*= ，
7. 设λ=2是非奇异矩阵Ade一个特征值，则矩阵A-1的一个特征值是（     ），
8. 单个向量α线性相关的充要条件是（2为零）向量。
9. 设A为m×n矩阵，则AI=A中的I是（n）阶单位矩阵。
10. 矩阵A= 对应的二次型
f=x12+4x1x2+2x22—2x2x3+6x1x3+3x32.  
11. 设向量组β1=（1,1,1），β2=（1,2,1），β3=（1,3，t）的秩为2，则t=（1）,
12. 设A为3阶方阵，且满足A2+A=E，则R（A+E）=（3），
13. 3阶方阵A=(αij)的特征值1,3,5，则│A│=（15）
14. 设A=（1,3,--1）,B=(2,1,2), 则ABT=（3），
15. 已知向量α=（3,5,7,9）β=(-1,5,2,0),如果α+ξ=β，则ξ=（-4,0,-5,9）
16, 设A=    则A的伴随矩阵A*=  ,
17. A是3阶矩阵，且│A│=5，则│-A2│=（-25）
18. 已知向量α=（1,-2,3,4）与β=（3,a,5,-7）正交，则数a=（-5），
19. 设n阶矩阵A有一个特征值3，则│-3+A│=（0），
20. 矩阵A=  对应的二次型f=x12+4x1x2+2x22—2x2x3+3x32 
21. 设矩阵A=  则A*= ，
22. 设三阶方阵A有特征值4,5,6，则AT的特征值为（4,5,6）
23. 单个向量α线性相关的充要条件是（α为零向量），
24. 已知A2—3A—8E=0，则（A—3E）—1=(1/8A),
25. 已知向量组α1=(1,a,-2), α2=(3,6,- 6) 线性组相关，则Q=（3）
26. 若行列式中各行元素之和均为零，则该行列式的值为（0）
27. 当k≠0时，矩阵A=  可逆。
28. α=（3,2,t,1）β=(t,-1,2,1) 正交，则t=（ 1/5 ）
29, 设A为m×n矩阵，则AI=A中I是（n）阶单位矩阵，
30. 二次型f (x1x2x3)=x12+2x22—3x32+2x1x2—6x1x3对应的对称矩阵是  
31. 设矩阵A= ，则行列式│ATA│=（4）
32. 设三阶方阵A有特征值4,5,6，则A-1的特征值为（1/4, 1/5, 1/6）
33. 设矩阵A=  ，矩阵B=A—E，则矩阵B的秩B（B）=（2）
34. 已知D=  ，则A11-A12+A13=(0)
35. 已知向量组α1=（1,a,-2）α2=(3,6,-6) 线性相关，则a=（3）
36. 已知A=  ，是奇异阵，则b=(0),
37. 已知A=  ，满足AB=A+B, 则B=  
38. 向量α=（3,2,t,1）β=(t,-1,2,1)正交，则t=1/5,
39. 设向量α=（3,5,7,9）β=(-1,5,2,0)向量γ满足3α-2γ=5β，则向量γ=（7,-5,1/2,27/2）
40. 二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x22—3x32+4x1x2—2x1x3, 对应的对称矩阵是  
 

41. 设矩阵A=  ，则行列式│ATA│=（4）
42. 设三阶方阵A的特征值为1,,2,3,4, 则│A│=（6）
43. 已知矩阵A= ，则R│A│=（3）
44. 已知D= ，则A11-A12+A13=(0)，
45. 设二次型f（x1,x2）=2x12+2x22+4kx1x2为正定二次型，则k取值范围为k＜1 
46. 设3阶矩阵A=  ，则A*A=（6E）
47. 两个向量α=（a,1,-1）β=(b,-2,2 ), 线性相关的充要条件是(b=—2a)
48. 向量α=(3,2,t,1),β=(t,-1,2,1) 正交则t=(1/5)
49. 各列元素之和为0，的n阶行列式的值等于（0）
50. 二次型f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+5x32-2x1x2+8x2x3的矩阵是   ，
三．证明题
证明：由A2+2A-3E=0得（A-4E）(A+6E)+24E-3E=0
 即：（A-4E）（A+6E）=-21E，
 两边取行列式得│A-4E││A+6E│=│-21E│≠0
故：│A-4E│=0，从而A-4E可逆，且(A-4E)-1=-1/21(A+6E),
4. 设α1,α2,α3,α4线性相关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1 线性相关。
证明k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α1)=0
即：（k1+k4）α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4=0线性无关。      ，
可得一组解：k1=-1, k2=1, k3=-1, k4=1.
故：α1, α2, α3, α4, α1+α2, α2+α3, α3+α4, α4+α1线性相关。
5. 若A,B都是n阶非0矩阵，且AB=0，证明A和B都是不可逆的。
  证明：假设A是可逆的，即A-1存在，以A-1左乘AB=0的两边得B=0，这与B是n阶非零矩阵矛盾。
  类似的若B可逆，即B-1存在以B-1右乘AB=0的两边得A=0，这与A是n阶非零矩阵矛盾，因此，A和B都是可逆的。
6. 设λ1,λ2是n阶方阵的两个特征值，λ1+λ2，p1,p2是对应的特征向量，证明p1+p2不是A的特征向量。
证明：假设p1+p2是A的对应于λ的特征向量，则A（p1+p2）=λ（p1+p2）
∵Ap1=λ1p1, Ap2=λ2p2, 由于p1p2是对应于不同特征向量，
∴它们线性无关，从而λ1-λ2=λ2-λ=0，λ1=λ2矛盾。
∴p1+p2不是A的特征向量。
7. 设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明A*的秩r(A*)=n
  证明：∵A为n阶可逆，∴│A│≠0 ，又∵A*A=│A│E， 
∴│A*││A│=│A│n,  因而A*≠0  ∴A*为n阶可逆矩阵，故r(A*)=n
 

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